数値シミュレーション －ローレンツ・アトラクタ
数値シミュレーション解説 第8回
Published: 12/26/2025
約4分
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こんにちは、Rafka です。
今回から神経細胞のシミュレーションについて解説する予定でしたが、
この数値シミュレーション解説シリーズは、
様々なシミュレーションを解説するシリーズとして続け、
神経細胞と脳のシミュレーションは別シリーズとして扱うことにしました。
前回の二重振り子のシミュレーションでは、
カオスと呼ばれる系の代表例として初期値鋭敏性を紹介しました。
今回は、カオスの研究において最も有名な例である ローレンツ・アトラクタ について解説します。
ローレンツ・アトラクタとは
ローレンツ・アトラクタは、1963年に気象学者エドワード・ローレンツが
大気の対流をモデル化する過程で発見した力学系です。
彼は気象予測のシミュレーションを行っている際に、
初期値のわずかな違いが全く異なる結果を生むことを発見しました。
この発見は後に「バタフライ効果」として知られるようになります。
「ブラジルで蝶が羽ばたくと、テキサスで竜巻が起きる」という比喩は、
まさにこの初期値鋭敏性を表現したものです。
ローレンツ方程式
ローレンツ・アトラクタは、以下の3つの連立常微分方程式で記述されます。
各パラメータの意味は以下の通りです。
- (シグマ): プラントル数。流体の粘性と熱伝導率の比を表します
- (ロー): レイリー数。温度差による浮力と粘性力の比を表します
- (ベータ): 系の幾何学的な形状に関係するパラメータです
ローレンツが用いた典型的なパラメータ値は以下の通りです。
これらの値を用いると、系はカオス的な振る舞いを示します。
ストレンジ・アトラクタ
ローレンツ方程式の解を3次元空間にプロットすると、
蝶の羽のような独特の形状が現れます。
この形状は ストレンジ・アトラクタ と呼ばれます。
ストレンジ・アトラクタの特徴的な性質として、
- 軌道は決して同じ点を2度通らない: 無限に続く軌跡が有限の空間内に収まります
- フラクタル構造: 拡大すると自己相似的な構造が見えます
- 初期値鋭敏性: わずかに異なる初期値から出発した軌道は、時間とともに指数関数的に離れていきます
シミュレーション結果
ルンゲ＝クッタ法を用いてローレンツ方程式を数値積分し、
3次元空間に軌跡を描画しました。
マウスでドラッグすることで視点を自由に回転させることができます。
初期値を変更して、軌跡がどのように変化するか観察してみてください。
わずかな初期値の違いが、全く異なる軌跡を生み出すことがわかります。
初期値鋭敏性の実験
上のシミュレーションで、例えば以下の実験を試してみてください。
- 初期値を に設定して軌跡を観察
- を から に変更
- 軌跡の形状がどのように変化するか比較
初期値がわずかに異なるだけで、
軌跡は最初のうちは似たような経路をたどりますが、
時間が経つにつれて全く異なる振る舞いを示すようになります。
これがカオス系における 長期予測の不可能性 の本質です。
天気予報が長期になるほど不正確になる理由も、
大気がこのようなカオス的な性質を持っているためです。
まとめ
ローレンツ・アトラクタは、
方程式自体は完全に決定論的（ランダム要素なし）であるにもかかわらず、
長期的な予測は実質的に不可能で、
初期値のわずかな測定誤差が、時間とともに増幅される特徴があります。
決定論的な方程式から生まれる予測不可能性という、
一見矛盾した現象を示す美しい例です。
このような系の研究は、気象学だけでなく、
経済学、生態学、神経科学など、
様々な分野で複雑な現象を理解するための基礎となっています。
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